Hat die quadratische Gleichung die Form $ax^2 + bx + c = 0$ (allgemeine Form der quadratischen Gleichung), kann ihre Lösung mit der abc-Formel (Mitternachtsformel) bestimmt werden:

Formel: abc-Formel (Mitternachtsformel)

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac} }{2a}$

Beispiele

Beispiel 1

Löse die Gleichung mit der abc-Formel: $2x^2 + 9x + 7 = 0$

$a$, $b$ und $c$ ablesen:

$a = 2$, $b=9$, $c=7$.

Formel:

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac} }{2a}$

Werte in die Formel einsetzen:

$x_{1,2} = \dfrac{-9 \pm \sqrt{9^2 -4\cdot2\cdot7} }{2\cdot2}$

Ausrechnen:

$x_{1,2} = \dfrac{-9 \pm \sqrt{81 -56} }{4}$

$x_{1,2} = \dfrac{-9 \pm \sqrt{25} }{4}$

$x_{1,2} = \dfrac{-9 \pm 5 }{4}$

$x_1 = \dfrac{-9 + 5 }{4} = \dfrac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \dfrac{-9 - 5 }{4} = \dfrac{-14 }{4} = -3,5 $

Lösung:$x_1= -1$ oder $x_2 = -3,5$

Lösung (in der Mengenschreibweise): $L=\{-3,5; -1\}$