Eine Funktion mit der Gleichung der Form: $y=mx+b$ heißt lineare Funktion.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Oft will man wissen ob ein bestimmter Punkt auf einer gegebenen Geraden liegt oder nicht. Zeichnet man den Punkt und die Gerade in einem Koordinatensystem, kann man es sofort sehen:

Beispiel 1: Liegen die Punkte $A ( 4 | 5 )$ und $B ( 3 | 7 )$ auf der Geraden mit der Gleichung $y = 2x + 1$ ?

Lösungsweg:

 

 

Der Punkt $B$ liegt auf der Geraden $y = 2x + 1$, der Punkt $A$ nicht.

Das graphische Verfahren ist ungenau und aufwendig. Aufgaben dieser Art lassen sich rechnerisch einfacher und schneller lösen.

Beispiel 2: Liegen die Punkte $A ( 2 | - 1 )$ und $B ( 3 | 5 )$ auf der Geraden $y = - 3x + 5$ ?

Lösungsweg:

Man löst solche Aufgaben, indem man die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung der Geraden einsetzt. Wir schauen erst ob der Punkt $A(\ \overset{x}{{\color{green}2}}|\ \overset{y}{{\color{blue}{-1}}})$ auf der Geraden liegt:

$\begin{align*} y&= -3x + 5 &&|\text{Werte einsetzen} \\ {\color{blue}-1}&= -3\cdot {\color{green}2} +5 &&|\text{auswerten}\\ -1&= -6 +5 &&|\text{auswerten}\\ -1&= -1 && \end{align*}$

$-1 = -1 $ ist eine wahre Aussage, der Punkt $A(2|-1)$ erfüllt die Gleichung $y = 2x+1$: Der Punkt liegt auf der Geraden.

Nun setzt man die Koordinaten des Punktes $B (3|5)$ in die Gleichung ein:

$\begin{align*} y&= -3x + 5 &&|\text{Werte einsetzen} \\ 5&= -3\cdot 3 +5 &&|\text{auswerten}\\ 5&= -9+5 &&\\ 5&= -4 &&\\ \end{align*}$

$5=-4\ $ ist eine falsche Aussage: der Punkt $B(3|5)$ liegt nicht auf der Geraden.

Fehlende Koordinaten bestimmen

Beispiel 3: Bestimme die fehlende Koordinaten so, dass die Punkte $A ( 2 | y )$ und $B ( x | - 3 )$ auf der Geraden mit $y = - 0,5x + 4$ liegen.

Lösungsweg:

Bei Aufgaben dieser Art setzt man die bekannte Variable in die Funktionsgleichung ein und löst diese nach der unbekannten Variablen auf:

Punkt $A(2|y)$:

$y = - 0,5x + 4 \qquad |$Werte einsetzen

$y = - 0,5\cdot 2 + 4 \qquad |$

$y = -1+ 4$

$\underline{y = 3}$

Lösung: Punkt $A ( 2 | 3 )$ liegt auf der Geraden $y = - 0.5x + 4$.

Um die $x$-Koordinate des Punktes $B$ zu bestimmen setzt man die $y$-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löst die Gleichung nach $x$ auf:

$- 3 = - 0,5x + 4\qquad| -4$

$- 3 - 4= - 0,5x$

$- 7= - 0,5x\qquad| \cdot (-2)$

$\underline{14= x}$

Lösung: der Punkt $B ( 14 | - 3 )$ liegt auf der Geraden $y = - 0.5x + 4$.