Definition: lineare Gleichung (Gleichung ersten Grades)

Eine Gleichung heißt linear, wenn sie äquvalent auf die Form: $ax+b = 0$ gebracht werden kann.

Beispiele für lineare Gleichungen:

$x + 5= 0$

$2x - 7 = 0$

$7x + 8 = 15 $

$3(x+ 5) = 4x - 12$

Lösen von linearen Gleichungen 

Äquivalenzumformungen

Lineare Gleichungen lassen sich mit Hilfe von äquivalenten Umformungen lösen.

Man formt die Gleichung derart um, daß die Variable auf einer Seite isoliert steht. Hinter einem senkrechten Strich " | " gibt man die nachfolgende Umformung an:

Beispiel 1: Löse: $x + 5 = 0$

Lösungsweg:

$x+ 5 = 0 \qquad | -5 $

$x+ 5 - 5= - 5 $

$x= - 5$

Lösung: $-5$

 

Äquivalenzumformungen:

  • die Seiten einer Gleichung vertauschen
  • auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl addieren
  • auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl subtrahieren
  • beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren*
  • beide Seiten einer Gleichung durch dieselbe Zahl dividieren

Das Anwenden dieser Umformungen auf eine Gleichung führen immer zu äquivalenten Gleichungen.

Äquivalenten Gleichungen sind Gleichungen mit der gleichen Lösungsmenge.

 

* das Multiplizieren mit $0$ ist keine äquivalente Umformung!

Anzahl der Lösungen von linearen Gleichungen

Eine lineare Gleichung hat genau eine Zahl, keine Zahl oder jede Zahl als Lösung.