Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Beim Lösen von Gleichungsystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen können drei verschiedene Fälle auftretten.

Eine Lösung

Beispiel: Löse das Gleichungssystem:

  • $y = x + 1$
  • $y = -2x +4$

Gleichsetzungsverfahren:

$x+1=-2x+4\quad |-1$

$x=-2x+3 \qquad \ \ \ |+2x$

$3x=3\qquad |:3$

$\underline{x=1}\qquad \ |:3$

$y$ ausrechnen:

$y =x+1$

$y =1+1$

$\underline{y = 2}$

Lösung: $L=\{(1;2)\}$

graphische Deutung

 

Die Geraden schneiden sich im Punkt $S(1|2)$:

Lösung: $L=\{(1;2)\}$

Keine Lösung - leere Lösungsmenge

Beispiel: Löse das Gleichungssystem:

  • $-2x +y= - 1$
  • $y = 2x +3$

Einsetzungsverfahren:

$-2x +y= -1 \quad |y=2x+3 $

$-2x + (2x+3)=- 1 $

$-2x +2x+3=- 1 $

$3= -1 \rightarrow$ falsche Aussage

Lösung: $L=\{ \ \}$

Man sagt:
"das Gleichungssystem hat keine Lösung" oder
"die Lösungsmenge ist leer"

graphische Deutung

 

Die Geraden sind parallel: das System hat keine Lösung.

Lösung: $L=\{ \ \}$

Unendlich viele Lösungen

Beispiel: Löse das Gleichungssystem:

  • $y= x+3$
  • $x=y-3$

Einsetzungsverfahren:

$y= x+3 \quad |\ x=y-3 $

$y= y-3 + 3 $

$0=0 $

Die Gleichung ist für alle Wertepaare erfüllt, es gibt unendlich viele Lösungen.

Lösung: $L=\{(x;y)| x-y=-3 \}$

graphische Deutung

 

Die Geraden fallen zusammen: das System hat unendlich viele Lösungen.

Lösung: $L=\{(x;y)| x-y=-3 \}$