Quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Lösen von quadratischen Gleichungen. Das Verfahren kann nur auf quadratische Gleichungen in der Normalform angewendet werden.

Normalform der quadratischen Gleichung:

$x^2 + px + q = 0$

Das Verfahren der quadratischen Ergänzung beruht auf den binomischen Formeln:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

$ a^2 − 2ab + b^2 = (a − b)^2$

Beispiel

Beispiel 1

Löse die Gleichung $x^2 - 8x + 12 = 0$ mit Hilfe der quadratischen Ergänzung

$p$ ablesen und quadratische Ergänzung:$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ ausrechnen:

$p= -8$ ,

quadratische Ergänzung: $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ = $\left(-\dfrac{8}{2}\right)^2 = 16$

Lösen:

$x^2 - 8x + 12 = 0 \qquad | -12 $

$x^2 - 8x  \quad= - 12 \qquad  | + 16$

$x^2 - 8x + 16 = 4  $

$(x-4)^2= 4 \qquad \qquad | \sqrt{\cdots}$

$x-4  \quad = \pm\sqrt{4}$

$x-4 = 2$ oder $x-4 = -2$

$x_1= 6$ oder $x_2= 2$

$L=\{2;6\}$