Definition: Quadratische Gleichung - allgemeine Form

Eine Gleichung der Form:

$ax^2 + bx + c = 0$

heißt allgemeine Form der quadratischen Gleichung (Gleichung 2.Grades).

Es heißen: $ax^2$: quadratisches Glied, $bx$: lineares Glied, $c$: absolutes Glied.

Beispiele für quadratische Gleichungen:

$2x^2 − 2 x + 24 = 0$

$− 3x^2 + 9x + 12 = 0$

 

Weitere Formen der quadratischen Gleichungen

Normalform

Teilt man die quadratische Gleichung der allgemeinen Form durch die Zahl $a$ $(a\neq0)$, so erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung.

Definition: Quadratischen Gleichung - Normalform

$x^2 + px + q = 0$

Beispiel: allgemeine Form in Normalform überführen

$4x^2 +12x-16= 0 \qquad |:4 $

$\ x^2 +\  3x\  -\ 4 \ = \ 0$

Reinquadratische Gleichungen

Besitzt eine quadratische Gleichung kein lineares Glied, wird diese als reinquadratische Gleichung bezeichnet:

Definition: reinquadratische Gleichung

Eine Gleichung der Form:

$ax^2 + c = 0$

heißt reinquadratische Gleichung.

Reinquadratische Gleichungen lassen sich recht einfach ohne Formeln lösen:

Beispiel: Löse die Gleichung: $4x^2-64=0$

Lösungsweg:

$4x^2 - 64= 0 \qquad |:4 $

$\ x^2 - 16\ = 0\qquad |+ 16 $

$\qquad \ x^2 = 16 \qquad |\sqrt{\cdots } $

$\qquad \ x_{1,2} = \pm \sqrt{16}$

$\qquad \ x_{1,2} = \pm 4$

Lösung: ${x_1 = 4}$ oder ${x_2= -4}$ ,  bzw. in der Mengenschreibweise: $L =\{4; -4\}$

 

Quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied

Quadratische Gleichungen der Form $ax^2 + bx = 0$ heißen quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied.

Gleichungen dieser Form lassen sich ohne Formeln lösen:

Beispiel: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung: $2x^2-14=0$

Lösungsweg:

$2x^2 - 14x= 0 \qquad |:2 $

$x^2 - \ 7x\ = \ \ 0 \qquad |:x$ ausklammern

$x\cdot(x - 7)= 0$

$x_1=0$ oder

$x_2-7= 0 \qquad | + 7$

$\qquad x_2=7$

Lösung: $L =\{0\ ;7\}$