Eine Kathete und die Hypotenuse ist gegeben, die zweite Kathete ist gesucht.

Beispiel 1

Aufgabe: Das Dreieck ABC hat den Winkel $γ = 90°$, die Seite $a = 4\ cm$ und die Seite $c = 5\ cm$. Berechne die Länge der Seite $b$.

Lösungsweg:

Die Seite $c$ ist die Hypotenuse, $a$ und $b$ sind entsprechend Katheten.

Also gilt die Beziehung: $c^2 = a^2+ b^2$.

$c^2 = a^2+ b^2\qquad |$ Werte einsetzen

$5^2 = 4^2+ b^2\qquad |$ ausrechnen

$25 = 16+ b^2\qquad |\ -16$

$9 = b^2\qquad |\ \sqrt{...}$

$\sqrt{9} = \sqrt{b^2}$

$ \quad 3 = b$

Antwort: die Seite $b$ des Dreiecks ABC ist $3\ cm$ lang.

 
 

Die Länge der Diagonalen in einem Rechteck

Beispiel 2

Aufgabe: Ein Rechteck hat die Seitenlängen $6 \ cm$ und $8 \ cm$. Berechne die Länge der Diagonalen.

Lösungsweg:

Die Diagonale d und die Seiten a und b bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Da die Diagonale d dem rechten Winkel gegenüber liegt, ist das die Hypotenuse, die Seiten a und b sind entsprechend Katheten. Somit gilt:

$d^2 = a^2+ b^2\qquad |$ Werte einsetzen

$d^2 = 6^2+ 8^2\qquad |$ ausrechnen

$d^2 = 100$

$d = 10$

Antwort: die Diagonale ist 10 cm lang.

 
 

Diagonale eines Quadrats

Beispiel 3

Aufgabe: Bestimme die Länge der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$.

Lösungsweg:

Die Diagonale $d$ bildet mit zwei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt:

$d^2 = a^2+ a^2\qquad |$ vereinfachen

$d^2 = 2a^2\qquad |$ Wurzel ziehen

$d = \sqrt{2a^2}$

$d = a\cdot \sqrt{2}$

Antwort: Die Diagonale ist $a\cdot \sqrt{2}$ lang.

 
 

Abstand eines Punktes vom Ursprung

Beispiel 4

Aufgabe: Aufgabe: berechne den Abstand des Punktes $P(5|7)$ vom Ursprung.

Lösungsweg:

Die Strecke d bildet mit den x- und y- Achsenabschnitten (blaue Pfeile) ein rechtwinkliges Dreieck, für den Abstand gilt also:

$d^2 = x^2+ y^2$

$d^2 = 5^2+ 7^2$

$d^2 = 74\qquad |$ Wurzel ziehen

$d = 8,6$

Antwort: der Abstand des Punktes vom Ursprung beträgt $8,6$ Einheiten

 
 

Abstand zwischen zwei Punkten

Beispiel 5

Aufgabe: Berechne den Abstand zwischen den Punkten $P (2|3)$ und $Q (8|7)$.

Lösungsweg:

Der Abstand $d$ bildet mit den beiden Hilfslinien ein rechtwinkliges Dreieck.
Die Länge der blauen Hilfslinie ist die Differenz (8 - 2) der $x$-Koordinaten der beiden Punkte, die Länge der roten Linie entsprechend die Differenz der $y$- Koordinaten.

$d^2 = (8-2)^2+ (7-3)^2$

$d^2 = 6^2+ 4^2$

$d^2 = 52\qquad |$ Wurzel ziehen

$d = 7,2$

Antwort: der Abstand zwischen den Punkten $P$ und $Q$ beträgt $7,2$ Einheiten.