Definition: Quadratische Gleichung - allgemeine Form
Eine Gleichung der Form:
$ax^2 + bx + c = 0$
heißt allgemeine Form der quadratischen Gleichung (Gleichung 2.Grades).
Es heißen: $ax^2$: quadratisches Glied, $bx$: lineares Glied, $c$: absolutes Glied.
Beispiele für quadratische Gleichungen:
$2x^2 − 2 x + 24 = 0$
$− 3x^2 + 9x + 12 = 0$
Weitere Formen der quadratischen Gleichungen
Normalform
Teilt man die quadratische Gleichung der allgemeinen Form durch die Zahl $a$ $(a\neq0)$, so erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung.
Definition: Quadratischen Gleichung - Normalform
$x^2 + px + q = 0$
Beispiel: allgemeine Form in Normalform überführen
$4x^2 +12x-16= 0 \qquad |:4 $
$\ x^2 +\ 3x\ -\ 4 \ = \ 0$
Reinquadratische Gleichungen
Besitzt eine quadratische Gleichung kein lineares Glied, wird diese als reinquadratische Gleichung bezeichnet:
Definition: reinquadratische Gleichung
Eine Gleichung der Form:
$ax^2 + c = 0$
heißt reinquadratische Gleichung.
Reinquadratische Gleichungen lassen sich recht einfach ohne Formeln lösen:
Beispiel: Löse die Gleichung: $4x^2-64=0$
Lösungsweg:
$4x^2 - 64= 0 \qquad |:4 $
$\ x^2 - 16\ = 0\qquad |+ 16 $
$\qquad \ x^2 = 16 \qquad |\sqrt{\cdots } $
$\qquad \ x_{1,2} = \pm \sqrt{16}$
$\qquad \ x_{1,2} = \pm 4$
Lösung: ${x_1 = 4}$ oder ${x_2= -4}$ , bzw. in der Mengenschreibweise: $L =\{4; -4\}$
Quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied
Quadratische Gleichungen der Form $ax^2 + bx = 0$ heißen quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied.
Gleichungen dieser Form lassen sich ohne Formeln lösen:
Beispiel: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung: $2x^2-14=0$
Lösungsweg:
$2x^2 - 14x= 0 \qquad |:2 $
$x^2 - \ 7x\ = \ \ 0 \qquad |:x$ ausklammern
$x\cdot(x - 7)= 0$
$x_1=0$ oder
$x_2-7= 0 \qquad | + 7$
$\qquad x_2=7$
Lösung: $L =\{0\ ;7\}$